KALKULUS 1

Bentuk tak tentu 0.∞ :   Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ : 4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ : Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

Uji Turunan Kedua Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c , dan f ’ ( c ) = 0, maka f ( c ) haruslah minimum lokal f . Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c , dan f ’ ( c ) = 0, maka f ( c ) haruslah maksimum lokal f . Perhatikan gambar di bawah ini. Teorema Uji Turunan Kedua Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’ ( c ) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c . Jika f ” ( c ) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada ( c , f ( c )). Jika f ” ( c ) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada ( c , f ( c )). Jika f ” ( c ) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, ...

Rumus turunan hasil kali fungsi Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan: Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

Kontinuitas Suatu fungsi kontinu di x = a jika: 1.  f(a) ada (dapat dihitung/real) 2.   3.   Ilustrasi:

Limit ln log dan bilangan e   Bilangan e Bilangan e didapat dari: e = 2,718281828… Rumus-rumus pengembangannya:

Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu atau   Jika merupakan limit berbentuk tak tentu   atau , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan. Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

Turunan Implisit Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit. Sebagai contohnya yaitu y = 3 x 2 + 5 x − 7 ; y = x 2 + sin x Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini: cos ( x + y ) + √ x y 2 − 5 x = 0 ; y + cos ( x y 2 ) + 3 x 2 = 5 y 2 − 6 Secara umum, fungsi f(x,y) = c , dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini: 1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x. 2. Gunakan aturan rantai 3. Tentukan dy/dx Aturan rantai adalah sebagai berikut: d y d x = d y d u d u d x Perhatikan contoh soal berikut ini: Contoh Soal 1: Tentukan dy/dx jika: 1.  y = u 2   dan  u = x 4 2. y = u 2   d...