TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Turunan Implisit

Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit.

Sebagai contohnya yaitu $y=3x^2+5x-7;y=x^2+\sin x$

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:

$\cos (x+y)+\sqrt{x{y}^2}-5x=0;y+\cos \left(x{y}^2\right)+3x^2=5y^2-6$

Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:

1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.

2. Gunakan aturan rantai

3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1:

Tentukan dy/dx jika:

1.  $y=u^2$

  dan  $u=x^4$

2. $y=u^2$

  dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   $=2u\left(4x^3\right)=2\left(x^4\right)\left(4x^3\right)$

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

            $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

                   $=2u\frac{du}{dx}$

   Jadi, $\frac{d}{dx}\left(u^2\right)$

dengan u fungsi dari x secara implisit adalah $2u\frac{du}{dx}$

.

Contoh Soal 2:

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

$x^{2}y-x{y}^2=5$

Pembahasan:

Langkah awal yang perlu dilakukan adalah ruas kanan dan ruas kiri kita turunkan terhadap x seperti berikut ini:

                                     $x^{2}y-x{y}^2=5$

                        $D_x(x^{2}y-x{y}^2)=D_x\left(5\right)$

                 $D_x\left(x^{2}y\right)-D_x\left(x{y}^2\right)=D_x\left(5\right)$

$2xy+x^2\frac{dy}{dx}-(1y^2+x2y\frac{dy}{dx})=0$

Setelah diturunkan terhadap x, maka selanjutnya yaitu buat dalam bentuk dy/dx seperti berikut:

                               $\frac{dy}{dx}(x^2-2xy)=y^2-2xy$

                                                   $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2xy}{x^2-2xy}$

Contoh Soal 3:

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

sin (x - y) = cos y

Pembahasan:

Cara pengerjaannya serupa dengan contoh soal 2. Dengan menurunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x diperoleh sebagai berikut:

                                    sin (x - y)  =   cos y

            $\left[\cos \right(x-y\left)\right]\left(\begin{array}{c}1-\frac{dy}{dx}\end{array}\right)=(-\sin y)\frac{dy}{dx}$

$\cos (x-y)-\cos (x-y)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}-\sin y$

     $[-\cos (x-y)+\sin y]\frac{dy}{dx}=-\cos (x-y)$

                                              $\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos (x-y)}{-\cos (x-y)+\sin y}$

                                                    $=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x-y)-\sin y}$

Contoh Soal 4:

Tentukan persamaan garis singgung kurva  $x^2{y}^2+4xy=12y$

  di titik (2 , 1).

Pembahasan:

Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruasentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya  yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:

                                        $x^2{y}^2+4xy=12y$

  $\frac{d}{dx}(x^2{y}^2+4xy)=\frac{d}{dx}\left(12y\right)$

$2x{y}^2+x^2\left(\begin{array}{c}2y\frac{dy}{dx}\end{array}\right)+4y+\left(4x\right)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}$

                         $(2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2x{y}^2-4y$

                                                     $\frac{dy}{dx}=\frac{-2x{y}^2-4y}{2x^{2}y+4x-12}$

Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

$m=\frac{-2\left(2\right)\left(1^2\right)-4\left(1\right)}{2\left(2^2\right)\left(1\right)+4\left(2\right)-12}=-2$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:

y - 1 = -2 (x - 2)

     y = -2 (x - 2) + 1

     y = -2x - 4 + 1

     y = -2x - 3