LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI

Sejarah Limit Fungsi Matematika

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d’analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an^[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.
RUMUS RUMUS LIMIT FUNGSI

 

Definisi

Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

atau

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

CONTOH :

Soal No. 1 Tentukan nilai dari

Pembahasan

Dengan turunan

Soal No. 2

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Masih menggunakan turunan